Можно ли перевестись в следующий класс посередине третьей четверти? стоит ли? и если да, то как?

Относительно расположения ребенка в том или ином классе: нужно, чтобы он учился там, где у него на 90% получается, а на 10% — нет. Это касается и нагрузки по отдельным предметам. В нашей практике была девочка 8 лет, которая училась в шестом классе. Мы ее последовательно переводили из класса в класс, пока не нашли правильный вариант. Здесь может быть только проблема административных барьеров, препятствующих поиску правильных вариантов. Конкретно в Вашем случае при таком перемещении из класса в класс могут возникнуть трудности с администрацией школы.
Формально перевод осуществляется через аттестацию за очередной класс. Положение о семейном образовании предусматривает возможность аттестации, когда ребенок к ней готов, без привязки к началу или концу учебного года.

Если вы хотите аттестоваться, пропустив какой-то класс, например, после первого, сразу за третий, то можно воспользоваться правом на обучение по индивидуальному учебному плану, в том числе ускоренное обучение по ст 34 часть 1 п. 3 Закона об образовании. Для этого нужно написать заявление, в котором просить аттестовать Вас за 3 класс в качестве экстерна в соответствии со ст. 34 часть 3, ст. 34 часть 1 п. 3.